Rozwiąż =20x^4+31x^2-9

$$= 20 x ^ { 4 } + 31 x ^ { 2 } - 9$$

Rozłóż na czynniki

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Kroki rozwiązania

Aby rozłożyć wyrażenie na czynniki, rozwiąż równanie, w którym jest ono równe 0.

$$20x^{4}+31x^{2}-9=0$$

Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego -9, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 20. Wyświetl listę wszystkich kandydatów \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{20},±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{20},±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{20},±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Znajdź jeden taki pierwiastek przez wypróbowanie wszystkich wartości całkowitych, zaczynając od najmniejszej wartości bezwzględnej. Jeśli nie zostaną znalezione żadne pierwiastki, wypróbuj ułamki.

$$x=\frac{1}{2}$$

Według twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki x-k jest współczynnikiem wielomianu dla każdego pierwiastka k. Podziel 20x^{4}+31x^{2}-9 przez 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1, aby uzyskać 10x^{3}+5x^{2}+18x+9. Aby rozłożyć wynik na czynniki, rozwiąż równanie, w którym jest on równy 0.

$$10x^{3}+5x^{2}+18x+9=0$$

Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego 9, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 10. Wyświetl listę wszystkich kandydatów \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{2},±1$$

Znajdź jeden taki pierwiastek przez wypróbowanie wszystkich wartości całkowitych, zaczynając od najmniejszej wartości bezwzględnej. Jeśli nie zostaną znalezione żadne pierwiastki, wypróbuj ułamki.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Według twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki x-k jest współczynnikiem wielomianu dla każdego pierwiastka k. Podziel 10x^{3}+5x^{2}+18x+9 przez 2\left(x+\frac{1}{2}\right)=2x+1, aby uzyskać 5x^{2}+9. Aby rozłożyć wynik na czynniki, rozwiąż równanie, w którym jest on równy 0.

$$5x^{2}+9=0$$

Wszystkie równania formularza ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Podstaw 5 do a, 0 do b i 9 do c w formule kwadratowej.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Wykonaj obliczenia.

$$x=\frac{0±\sqrt{-180}}{10}$$

5x^{2}+9 wielomianowy nie jest przyczynnika, ponieważ nie ma żadnych wymiernych katalogów głównych.

$$5x^{2}+9$$

Przepisz wyrażenie rozłożone na czynniki, korzystając z uzyskanych wartości pierwiastków.

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Oblicz

$$20x^{4}+31x^{2}-9$$