Rozwiąż = ∫ x(1-x^2)^2 wrt x

$$= \int x ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { 2 } d x$$

Oblicz

$$\frac{x^{6}}{6}-\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{2}}{2}+С$$

Kroki rozwiązania

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(1-x^{2}\right)^{2}.

$$\int x\left(1-2x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Aby podnieść potęgę do innej potęgi, pomnóż wykładniki. Pomnóż 2 przez 2, aby uzyskać 4.

$$\int x\left(1-2x^{2}+x^{4}\right)\mathrm{d}x$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x przez 1-2x^{2}+x^{4}.

$$\int x-2x^{3}+x^{5}\mathrm{d}x$$

Całkuj kres sumy przez sumę.

$$\int x\mathrm{d}x+\int -2x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

Wyłącz przed nawias stałą w każdym ze składników.

$$\int x\mathrm{d}x-2\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

Ponieważ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, Zamień \int x\mathrm{d}x na \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{2}}{2}-2\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

Ponieważ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, Zamień \int x^{3}\mathrm{d}x na \frac{x^{4}}{4}. Pomnóż -2 przez \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{2}+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

Ponieważ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, Zamień \int x^{5}\mathrm{d}x na \frac{x^{6}}{6}.

$$\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{6}}{6}$$

Jeśli F\left(x\right) jest funkcją pierwotną f\left(x\right), to zbiór wszystkich funkcji pierwotnych f\left(x\right) jest określony przez F\left(x\right)+C. W związku z tym, dodaj stałą całkowania C\in \mathrm{R} do wyniku.

$$\frac{x^{6}}{6}-\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{2}}{2}+С$$

Różniczkuj względem x

$$x\left(x^{2}-1\right)^{2}$$