Rozwiąż =frac{sqrt{x^{2}+y^{2}}-y}{x-sqrt{x^{2}-y^{2}}}divfrac{sqrt{x^2-y^2}+x}{sqrt{x^2+y^2}+y}

$$= \frac { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } - y } { x - \sqrt { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } } \div \frac { \sqrt { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } + x } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } + y }$$

Oblicz

$$\left(\frac{x}{y}\right)^{2}$$

Procedura krótkiego rozwiązania

Podziel \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-y}{x-\sqrt{x^{2}-y^{2}}} przez \frac{\sqrt{x^{2}-y^{2}}+x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+y}, mnożąc \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-y}{x-\sqrt{x^{2}-y^{2}}} przez odwrotność \frac{\sqrt{x^{2}-y^{2}}+x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+y}.

$$\frac{\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}-y\right)\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}+y\right)}{\left(x-\sqrt{x^{2}-y^{2}}\right)\left(\sqrt{x^{2}-y^{2}}+x\right)}$$

Rozważ \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}-y\right)\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}+y\right). Mnożenie można przekształcić w różnicę kwadratów, stosując regułę: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)^{2}-y^{2}}{\left(x-\sqrt{x^{2}-y^{2}}\right)\left(\sqrt{x^{2}-y^{2}}+x\right)}$$

Podnieś \sqrt{x^{2}+y^{2}} do potęgi 2, aby uzyskać x^{2}+y^{2}.

$$\frac{x^{2}+y^{2}-y^{2}}{\left(x-\sqrt{x^{2}-y^{2}}\right)\left(\sqrt{x^{2}-y^{2}}+x\right)}$$

Połącz y^{2} i -y^{2}, aby uzyskać 0.

$$\frac{x^{2}}{\left(x-\sqrt{x^{2}-y^{2}}\right)\left(\sqrt{x^{2}-y^{2}}+x\right)}$$

Rozważ \left(x-\sqrt{x^{2}-y^{2}}\right)\left(\sqrt{x^{2}-y^{2}}+x\right). Mnożenie można przekształcić w różnicę kwadratów, stosując regułę: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{x^{2}}{x^{2}-\left(\sqrt{x^{2}-y^{2}}\right)^{2}}$$

Podnieś \sqrt{x^{2}-y^{2}} do potęgi 2, aby uzyskać x^{2}-y^{2}.

$$\frac{x^{2}}{x^{2}-\left(x^{2}-y^{2}\right)}$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do x^{2}-y^{2}, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$\frac{x^{2}}{x^{2}-x^{2}+y^{2}}$$

Połącz x^{2} i -x^{2}, aby uzyskać 0.

$$\frac{x^{2}}{y^{2}}$$

Różniczkuj względem x

$$\frac{2x}{y^{2}}$$