Løs 2x^2+12x+40=0

$$2x^2+12x+40=0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=-3+\sqrt{11}i\approx -3+3,31662479i$$

$$x=-\sqrt{11}i-3\approx -3-3,31662479i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, 12 for b og 40 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

Kvadrer 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-8\times 40}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger 40.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-320}}{2\times 2}$$

Legg sammen 144 og -320.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-176}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av -176.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4} når ± er pluss. Legg sammen -12 og 4i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-12+4\sqrt{11}i}{4}$$

Del -12+4i\sqrt{11} på 4.

$$x=-3+\sqrt{11}i$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4} når ± er minus. Trekk fra 4i\sqrt{11} fra -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}i-12}{4}$$

Del -12-4i\sqrt{11} på 4.

$$x=-\sqrt{11}i-3$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

Trekk fra 40 fra begge sider av ligningen.

$$2x^{2}+12x+40-40=-40$$

Når du trekker fra 40 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}+12x=-40$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}+12x}{2}=-\frac{40}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}+\frac{12}{2}x=-\frac{40}{2}$$

Del 12 på 2.

$$x^{2}+6x=-\frac{40}{2}$$

Del -40 på 2.

$$x^{2}+6x=-20$$

Divider 6, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få 3. Legg deretter til kvadratet av 3 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+6x+3^{2}=-20+3^{2}$$

Kvadrer 3.

$$x^{2}+6x+9=-20+9$$

Legg sammen -20 og 9.

$$x^{2}+6x+9=-11$$

Faktoriser x^{2}+6x+9. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=-11$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

Forenkle.

$$x+3=\sqrt{11}i x+3=-\sqrt{11}i$$

Trekk fra 3 fra begge sider av ligningen.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$