Atrisiniet {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Atrast x, y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0,576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0,884615385$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Apsveriet pirmo vienādojumu. Atņemiet 5y no abām pusēm.

$$x-5y=5$$

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$x-5y=5$$

Pieskaitiet 5y abās vienādojuma pusēs.

$$x=5y+5$$

Ar 5+5y aizvietojiet x otrā vienādojumā 6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

Reiziniet 6 reiz 5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

Pieskaitiet 30y pie -4y.

$$26y+30=7$$

Atņemiet 30 no vienādojuma abām pusēm.

$$26y=-23$$

Daliet abas puses ar 26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Aizvietojiet y ar -\frac{23}{26} vienādojumā x=5y+5. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

Reiziniet 5 reiz -\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

Pieskaitiet 5 pie -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Darbības, izmantojot matricas

Apsveriet pirmo vienādojumu. Atņemiet 5y no abām pusēm.

$$x-5y=5$$

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Apsveriet pirmo vienādojumu. Atņemiet 5y no abām pusēm.

$$x-5y=5$$

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Lai vienādotu x un 6x, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar 6, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 1.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Vienkāršojiet.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

Atņemiet 6x-4y=7 no 6x-30y=30 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

Pieskaitiet 6x pie -6x. Locekļus 6x un -6x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$-30y+4y=30-7$$

Pieskaitiet -30y pie 4y.

$$-26y=30-7$$

Pieskaitiet 30 pie -7.

$$-26y=23$$

Daliet abas puses ar -26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Aizvietojiet y ar -\frac{23}{26} vienādojumā 6x-4y=7. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

Reiziniet -4 reiz -\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

Atņemiet \frac{46}{13} no vienādojuma abām pusēm.

$$6x=\frac{45}{13}$$

Daliet abas puses ar 6.

$$x=\frac{15}{26}$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$