Atrisiniet {l}{8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = 46 } \\ { 7 x + 3 y = 47 } \end{array} \right.$$

Atrast x, y

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4,4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5,4$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$8x+2y=46$$

Atņemiet 2y no vienādojuma abām pusēm.

$$8x=-2y+46$$

Daliet abas puses ar 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

Reiziniet \frac{1}{8} reiz -2y+46.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

Ar \frac{-y+23}{4} aizvietojiet x otrā vienādojumā 7x+3y=47.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

Reiziniet 7 reiz \frac{-y+23}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

Pieskaitiet -\frac{7y}{4} pie 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

Atņemiet \frac{161}{4} no vienādojuma abām pusēm.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

Daliet abas vienādojuma puses ar \frac{5}{4}, kas ir tas pats, kas reizināt abas puses ar apgriezto daļskaitli.

$$y=\frac{27}{5}$$

Aizvietojiet y ar \frac{27}{5} vienādojumā x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

Reiziniet -\frac{1}{4} ar \frac{27}{5}, reizinot skaitītāju ar skaitītāju un saucēju ar saucēju. Pēc tam, ja iespējams, samaziniet daļskaitli līdz mazākajam loceklim.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

Pieskaitiet \frac{23}{4} pie -\frac{27}{20}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x=\frac{22}{5}$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Darbības, izmantojot matricas

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Lai vienādotu 8x un 7x, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar 7, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 8.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

Vienkāršojiet.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

Atņemiet 56x+24y=376 no 56x+14y=322 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

Pieskaitiet 56x pie -56x. Locekļus 56x un -56x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$14y-24y=322-376$$

Pieskaitiet 14y pie -24y.

$$-10y=322-376$$

Pieskaitiet 322 pie -376.

$$-10y=-54$$

Daliet abas puses ar -10.

$$y=\frac{27}{5}$$

Aizvietojiet y ar \frac{27}{5} vienādojumā 7x+3y=47. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

Reiziniet 3 reiz \frac{27}{5}.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

Atņemiet \frac{81}{5} no vienādojuma abām pusēm.

$$7x=\frac{154}{5}$$

Daliet abas puses ar 7.

$$x=\frac{22}{5}$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$