Differenciálás x szerint
-\sin(x)
Kiértékelés
\cos(x)
Grafikon
Megosztás
Átmásolva a vágólapra
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cos(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}\right)
Egy f\left(x\right) függvény deriváltja az \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} kifejezés határértéke, ha h tart 0-hoz, feltéve, hogy létezik határérték.
\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}
Két szám összegének a koszinuszára vonatkozó azonosságot használjuk.
\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x)\left(\cos(h)-1\right)-\sin(x)\sin(h)}{h}
Kiemeljük a következőt: \cos(x).
\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
Átalakítjuk a határértéket.
\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
A határérték (h tart a következőhöz: 0) kiszámolásához felhasználjuk, hogy x konstans.
\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(x)
A határérték (\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}) 1.
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)
A határérték (\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}) kiszámításához először megszorozzuk a számlálót és a nevezőt a következővel: \cos(h)+1.
\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}
Összeszorozzuk a következőket: \cos(h)+1 és \cos(h)-1.
\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}
A pitagoraszi azonosságot használjuk.
\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
Átalakítjuk a határértéket.
-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
A határérték (\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}) 1.
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0
Felhasználjuk, hogy \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} folytonos a(z) 0 pontban.
-\sin(x)
Behelyettesítjük a(z) 0 értéket a(z) \cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(x) kifejezésbe.