Ratkaise {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x=\frac{15}{26}\approx 0,576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0,884615385$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Vähennä 5y molemmilta puolilta.

$$x-5y=5$$

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$x-5y=5$$

Lisää 5y yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=5y+5$$

Korvaa x arvolla 5+5y toisessa yhtälössä, 6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

Kerro 6 ja 5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

Lisää 30y lukuun -4y.

$$26y+30=7$$

Vähennä 30 yhtälön molemmilta puolilta.

$$26y=-23$$

Jaa molemmat puolet luvulla 26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Korvaa y arvolla -\frac{23}{26} yhtälössä x=5y+5. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

Kerro 5 ja -\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

Lisää 5 lukuun -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Vähennä 5y molemmilta puolilta.

$$x-5y=5$$

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Vähennä 5y molemmilta puolilta.

$$x-5y=5$$

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Jos haluat saada luvut x ja 6x yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 6 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 1.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Sievennä.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

Vähennä 6x-4y=7 lausekkeesta 6x-30y=30 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

Lisää 6x lukuun -6x. Termit 6x ja -6x kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$-30y+4y=30-7$$

Lisää -30y lukuun 4y.

$$-26y=30-7$$

Lisää 30 lukuun -7.

$$-26y=23$$

Jaa molemmat puolet luvulla -26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Korvaa y arvolla -\frac{23}{26} yhtälössä 6x-4y=7. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

Kerro -4 ja -\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

Vähennä \frac{46}{13} yhtälön molemmilta puolilta.

$$6x=\frac{45}{13}$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$x=\frac{15}{26}$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$