Ratkaise {l}{8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = 46 } \\ { 7 x + 3 y = 47 } \end{array} \right.$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4,4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5,4$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$8x+2y=46$$

Vähennä 2y yhtälön molemmilta puolilta.

$$8x=-2y+46$$

Jaa molemmat puolet luvulla 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

Kerro \frac{1}{8} ja -2y+46.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

Korvaa x arvolla \frac{-y+23}{4} toisessa yhtälössä, 7x+3y=47.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

Kerro 7 ja \frac{-y+23}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

Lisää -\frac{7y}{4} lukuun 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

Vähennä \frac{161}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla \frac{5}{4}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$y=\frac{27}{5}$$

Korvaa y arvolla \frac{27}{5} yhtälössä x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

Kerro -\frac{1}{4} ja \frac{27}{5} kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

Lisää \frac{23}{4} lukuun -\frac{27}{20} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=\frac{22}{5}$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Jos haluat saada luvut 8x ja 7x yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 7 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 8.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

Sievennä.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

Vähennä 56x+24y=376 lausekkeesta 56x+14y=322 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

Lisää 56x lukuun -56x. Termit 56x ja -56x kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$14y-24y=322-376$$

Lisää 14y lukuun -24y.

$$-10y=322-376$$

Lisää 322 lukuun -376.

$$-10y=-54$$

Jaa molemmat puolet luvulla -10.

$$y=\frac{27}{5}$$

Korvaa y arvolla \frac{27}{5} yhtälössä 7x+3y=47. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

Kerro 3 ja \frac{27}{5}.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

Vähennä \frac{81}{5} yhtälön molemmilta puolilta.

$$7x=\frac{154}{5}$$

Jaa molemmat puolet luvulla 7.

$$x=\frac{22}{5}$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$