Lahenda cos(x)

$$\cos ( x )$$

Diferentseeri x-i järgi

$$-\sin(x)$$

Juhised tuletise definitsiooni kasutamisel

Funktsiooni f\left(x\right) korral on tuletis \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} piir, kui h läheneb väärtusele 0, kui see piir on olemas.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cos(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}\right)$$

Kasutage koosinuse summa valemit.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}$$

Tooge \cos(x) sulgude ette.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x)\left(\cos(h)-1\right)-\sin(x)\sin(h)}{h}$$

Kirjutage piir ümber.

$$\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Piirväärtuste arvutamisel, kui h läheneb 0-le, kasutage asjaolu, et x on konstant.

$$\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Piir \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} on 1.

$$\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(x)$$

Piiri \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} arvutamiseks korrutage esmalt lugeja ja nimetaja väärtusega \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Korrutage omavahel \cos(h)+1 ja \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Kasutage Pythagorase samasust.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Kirjutage piir ümber.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Piir \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} on 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Kasutage asjaolu, et \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} on 0 korral pidev.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Asendage väärtus 0 avaldises \cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(x).

$$-\sin(x)$$

Arvuta

$$\cos(x)$$