Lahenda {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Lahendage ja leidke x,y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0,576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0,884615385$$

Juhised asendamise kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Lahutage mõlemast poolest 5y.

$$x-5y=5$$

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see x-väärtuse suhtes, isoleerides x võrdusmärgist vasakule.

$$x-5y=5$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 5y.

$$x=5y+5$$

Asendage x teises võrrandis 6x-4y=7 väärtusega 5+5y.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

Korrutage omavahel 6 ja 5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

Liitke 30y ja -4y.

$$26y+30=7$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 30.

$$26y=-23$$

Jagage mõlemad pooled 26-ga.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Asendage y võrrandis x=5y+5 väärtusega -\frac{23}{26}. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

Korrutage omavahel 5 ja -\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

Liitke 5 ja -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Lahutage mõlemast poolest 5y.

$$x-5y=5$$

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid x ja y.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Lahutage mõlemast poolest 5y.

$$x-5y=5$$

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

x ja 6x võrdsustamiseks korrutage esimese võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 6-ga ja teise võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 1-ga.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Lihtsustage.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

Lahutage 6x-4y=7 võrrandist 6x-30y=30, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

Liitke 6x ja -6x. Liikmed 6x ja -6x taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$-30y+4y=30-7$$

Liitke -30y ja 4y.

$$-26y=30-7$$

Liitke 30 ja -7.

$$-26y=23$$

Jagage mõlemad pooled -26-ga.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Asendage y võrrandis 6x-4y=7 väärtusega -\frac{23}{26}. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

Korrutage omavahel -4 ja -\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{46}{13}.

$$6x=\frac{45}{13}$$

Jagage mõlemad pooled 6-ga.

$$x=\frac{15}{26}$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$