Lahenda {l}{8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = 46 } \\ { 7 x + 3 y = 47 } \end{array} \right.$$

Lahendage ja leidke x,y

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4,4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5,4$$

Juhised asendamise kasutamisel

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see x-väärtuse suhtes, isoleerides x võrdusmärgist vasakule.

$$8x+2y=46$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 2y.

$$8x=-2y+46$$

Jagage mõlemad pooled 8-ga.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

Korrutage omavahel \frac{1}{8} ja -2y+46.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

Asendage x teises võrrandis 7x+3y=47 väärtusega \frac{-y+23}{4}.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

Korrutage omavahel 7 ja \frac{-y+23}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

Liitke -\frac{7y}{4} ja 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{161}{4}.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

Jagage võrrandi mõlemad pooled väärtusega \frac{5}{4}, mis on sama nagu mõlema poole korrutamine murru pöördväärtusega.

$$y=\frac{27}{5}$$

Asendage y võrrandis x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4} väärtusega \frac{27}{5}. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

Korrutage omavahel -\frac{1}{4} ja \frac{27}{5}, korrutades nimetajad omavahel ja lugejad omavahel. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

Liitke \frac{23}{4} ja -\frac{27}{20}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x=\frac{22}{5}$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid x ja y.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

8x ja 7x võrdsustamiseks korrutage esimese võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 7-ga ja teise võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 8-ga.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

Lihtsustage.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

Lahutage 56x+24y=376 võrrandist 56x+14y=322, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

Liitke 56x ja -56x. Liikmed 56x ja -56x taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$14y-24y=322-376$$

Liitke 14y ja -24y.

$$-10y=322-376$$

Liitke 322 ja -376.

$$-10y=-54$$

Jagage mõlemad pooled -10-ga.

$$y=\frac{27}{5}$$

Asendage y võrrandis 7x+3y=47 väärtusega \frac{27}{5}. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

Korrutage omavahel 3 ja \frac{27}{5}.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{81}{5}.

$$7x=\frac{154}{5}$$

Jagage mõlemad pooled 7-ga.

$$x=\frac{22}{5}$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$