Løs 2x^2+12x+40=0

$$2x^2+12x+40=0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=-3+\sqrt{11}i\approx -3+3,31662479i$$

$$x=-\sqrt{11}i-3\approx -3-3,31662479i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, 12 med b og 40 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

Kvadrér 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-8\times 40}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange 40.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-320}}{2\times 2}$$

Adder 144 til -320.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-176}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af -176.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4} når ± er plus. Adder -12 til 4i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-12+4\sqrt{11}i}{4}$$

Divider -12+4i\sqrt{11} med 4.

$$x=-3+\sqrt{11}i$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4} når ± er minus. Subtraher 4i\sqrt{11} fra -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}i-12}{4}$$

Divider -12-4i\sqrt{11} med 4.

$$x=-\sqrt{11}i-3$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

Subtraher 40 fra begge sider af ligningen.

$$2x^{2}+12x+40-40=-40$$

Hvis 40 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}+12x=-40$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}+12x}{2}=-\frac{40}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\frac{12}{2}x=-\frac{40}{2}$$

Divider 12 med 2.

$$x^{2}+6x=-\frac{40}{2}$$

Divider -40 med 2.

$$x^{2}+6x=-20$$

Divider 6, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få 3. Adder derefter kvadratet af 3 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+6x+3^{2}=-20+3^{2}$$

Kvadrér 3.

$$x^{2}+6x+9=-20+9$$

Adder -20 til 9.

$$x^{2}+6x+9=-11$$

Faktor x^{2}+6x+9. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+3\right)^{2}=-11$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

Forenkling.

$$x+3=\sqrt{11}i x+3=-\sqrt{11}i$$

Subtraher 3 fra begge sider af ligningen.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$