Løs 2/b-3-6/2b+1=4

$$\frac{2}{b-3}-\frac{6}{2b+1}=4$$

Løs for b

$$b = \frac{\sqrt{337} + 9}{8} \approx 3,419694969$$

$$b=\frac{9-\sqrt{337}}{8}\approx -1,169694969$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen b må ikke være lig med en af følgende værdier -\frac{1}{2},3, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(b-3\right)\left(2b+1\right), det mindste fælles multiplum af b-3,2b+1.

$$\left(2b+1\right)\times 2-\left(b-3\right)\times 6=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2b+1 med 2.

$$4b+2-\left(b-3\right)\times 6=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere b-3 med 6.

$$4b+2-\left(6b-18\right)=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

For at finde det modsatte af 6b-18 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$4b+2-6b+18=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

Kombiner 4b og -6b for at få -2b.

$$-2b+2+18=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

Tilføj 2 og 18 for at få 20.

$$-2b+20=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4 med b-3.

$$-2b+20=\left(4b-12\right)\left(2b+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4b-12 med 2b+1, og kombiner ens led.

$$-2b+20=8b^{2}-20b-12$$

Subtraher 8b^{2} fra begge sider.

$$-2b+20-8b^{2}=-20b-12$$

Tilføj 20b på begge sider.

$$-2b+20-8b^{2}+20b=-12$$

Kombiner -2b og 20b for at få 18b.

$$18b+20-8b^{2}=-12$$

Tilføj 12 på begge sider.

$$18b+20-8b^{2}+12=0$$

Tilføj 20 og 12 for at få 32.

$$18b+32-8b^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-8b^{2}+18b+32=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -8 med a, 18 med b og 32 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-8\right)\times 32}}{2\left(-8\right)}$$

Kvadrér 18.

$$b=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-8\right)\times 32}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplicer -4 gange -8.

$$b=\frac{-18±\sqrt{324+32\times 32}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplicer 32 gange 32.

$$b=\frac{-18±\sqrt{324+1024}}{2\left(-8\right)}$$

Adder 324 til 1024.

$$b=\frac{-18±\sqrt{1348}}{2\left(-8\right)}$$

Tag kvadratroden af 1348.

$$b=\frac{-18±2\sqrt{337}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplicer 2 gange -8.

$$b=\frac{-18±2\sqrt{337}}{-16}$$

Nu skal du løse ligningen, b=\frac{-18±2\sqrt{337}}{-16} når ± er plus. Adder -18 til 2\sqrt{337}.

$$b=\frac{2\sqrt{337}-18}{-16}$$

Divider -18+2\sqrt{337} med -16.

$$b=\frac{9-\sqrt{337}}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, b=\frac{-18±2\sqrt{337}}{-16} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{337} fra -18.

$$b=\frac{-2\sqrt{337}-18}{-16}$$

Divider -18-2\sqrt{337} med -16.

$$b=\frac{\sqrt{337}+9}{8}$$

Ligningen er nu løst.

$$b=\frac{9-\sqrt{337}}{8} b=\frac{\sqrt{337}+9}{8}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen b må ikke være lig med en af følgende værdier -\frac{1}{2},3, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(b-3\right)\left(2b+1\right), det mindste fælles multiplum af b-3,2b+1.

$$\left(2b+1\right)\times 2-\left(b-3\right)\times 6=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2b+1 med 2.

$$4b+2-\left(b-3\right)\times 6=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere b-3 med 6.

$$4b+2-\left(6b-18\right)=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

For at finde det modsatte af 6b-18 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$4b+2-6b+18=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

Kombiner 4b og -6b for at få -2b.

$$-2b+2+18=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

Tilføj 2 og 18 for at få 20.

$$-2b+20=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4 med b-3.

$$-2b+20=\left(4b-12\right)\left(2b+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4b-12 med 2b+1, og kombiner ens led.

$$-2b+20=8b^{2}-20b-12$$

Subtraher 8b^{2} fra begge sider.

$$-2b+20-8b^{2}=-20b-12$$

Tilføj 20b på begge sider.

$$-2b+20-8b^{2}+20b=-12$$

Kombiner -2b og 20b for at få 18b.

$$18b+20-8b^{2}=-12$$

Subtraher 20 fra begge sider.

$$18b-8b^{2}=-12-20$$

Subtraher 20 fra -12 for at få -32.

$$18b-8b^{2}=-32$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-8b^{2}+18b=-32$$

Divider begge sider med -8.

$$\frac{-8b^{2}+18b}{-8}=-\frac{32}{-8}$$

Division med -8 annullerer multiplikationen med -8.

$$b^{2}+\frac{18}{-8}b=-\frac{32}{-8}$$

Reducer fraktionen \frac{18}{-8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$b^{2}-\frac{9}{4}b=-\frac{32}{-8}$$

Divider -32 med -8.

$$b^{2}-\frac{9}{4}b=4$$

Divider -\frac{9}{4}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{9}{8}. Adder derefter kvadratet af -\frac{9}{8} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$b^{2}-\frac{9}{4}b+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=4+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{9}{8} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$b^{2}-\frac{9}{4}b+\frac{81}{64}=4+\frac{81}{64}$$

Adder 4 til \frac{81}{64}.

$$b^{2}-\frac{9}{4}b+\frac{81}{64}=\frac{337}{64}$$

Faktor b^{2}-\frac{9}{4}b+\frac{81}{64}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(b-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{337}{64}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(b-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{337}{64}}$$

Forenkling.

$$b-\frac{9}{8}=\frac{\sqrt{337}}{8} b-\frac{9}{8}=-\frac{\sqrt{337}}{8}$$

Adder \frac{9}{8} på begge sider af ligningen.

$$b=\frac{\sqrt{337}+9}{8} b=\frac{9-\sqrt{337}}{8}$$