Løs 1/3=m+m-1/m

$$\frac{1}{3}=m+\frac{m-1}{m}$$

Løs for m

$$m=\frac{\sqrt{10}-1}{3}\approx 0,72075922$$

$$m=\frac{-\sqrt{10}-1}{3}\approx -1,387425887$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen m må ikke være lig med 0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 3m, det mindste fælles multiplum af 3,m.

$$m=3mm+3\left(m-1\right)$$

Multiplicer m og m for at få m^{2}.

$$m=3m^{2}+3\left(m-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3 med m-1.

$$m=3m^{2}+3m-3$$

Subtraher 3m^{2} fra begge sider.

$$m-3m^{2}=3m-3$$

Subtraher 3m fra begge sider.

$$m-3m^{2}-3m=-3$$

Kombiner m og -3m for at få -2m.

$$-2m-3m^{2}=-3$$

Tilføj 3 på begge sider.

$$-2m-3m^{2}+3=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-3m^{2}-2m+3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -3 med a, -2 med b og 3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$m=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 3}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrér -2.

$$m=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-3\right)\times 3}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer -4 gange -3.

$$m=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12\times 3}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 12 gange 3.

$$m=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+36}}{2\left(-3\right)}$$

Adder 4 til 36.

$$m=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{40}}{2\left(-3\right)}$$

Tag kvadratroden af 40.

$$m=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{10}}{2\left(-3\right)}$$

Det modsatte af -2 er 2.

$$m=\frac{2±2\sqrt{10}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 2 gange -3.

$$m=\frac{2±2\sqrt{10}}{-6}$$

Nu skal du løse ligningen, m=\frac{2±2\sqrt{10}}{-6} når ± er plus. Adder 2 til 2\sqrt{10}.

$$m=\frac{2\sqrt{10}+2}{-6}$$

Divider 2+2\sqrt{10} med -6.

$$m=\frac{-\sqrt{10}-1}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, m=\frac{2±2\sqrt{10}}{-6} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{10} fra 2.

$$m=\frac{2-2\sqrt{10}}{-6}$$

Divider 2-2\sqrt{10} med -6.

$$m=\frac{\sqrt{10}-1}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$m=\frac{-\sqrt{10}-1}{3} m=\frac{\sqrt{10}-1}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen m må ikke være lig med 0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 3m, det mindste fælles multiplum af 3,m.

$$m=3mm+3\left(m-1\right)$$

Multiplicer m og m for at få m^{2}.

$$m=3m^{2}+3\left(m-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3 med m-1.

$$m=3m^{2}+3m-3$$

Subtraher 3m^{2} fra begge sider.

$$m-3m^{2}=3m-3$$

Subtraher 3m fra begge sider.

$$m-3m^{2}-3m=-3$$

Kombiner m og -3m for at få -2m.

$$-2m-3m^{2}=-3$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-3m^{2}-2m=-3$$

Divider begge sider med -3.

$$\frac{-3m^{2}-2m}{-3}=-\frac{3}{-3}$$

Division med -3 annullerer multiplikationen med -3.

$$m^{2}+\left(-\frac{2}{-3}\right)m=-\frac{3}{-3}$$

Divider -2 med -3.

$$m^{2}+\frac{2}{3}m=-\frac{3}{-3}$$

Divider -3 med -3.

$$m^{2}+\frac{2}{3}m=1$$

Divider \frac{2}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{3}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$m^{2}+\frac{2}{3}m+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=1+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$m^{2}+\frac{2}{3}m+\frac{1}{9}=1+\frac{1}{9}$$

Adder 1 til \frac{1}{9}.

$$m^{2}+\frac{2}{3}m+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}$$

Faktor m^{2}+\frac{2}{3}m+\frac{1}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(m+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{10}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(m+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10}{9}}$$

Forenkling.

$$m+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{10}}{3} m+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{10}}{3}$$

Subtraher \frac{1}{3} fra begge sider af ligningen.

$$m=\frac{\sqrt{10}-1}{3} m=\frac{-\sqrt{10}-1}{3}$$