Vyřešit {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0.576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0.884615385$$

Postup použití dosazení

Zvažte použití první rovnice. Odečtěte 5y od obou stran.

$$x-5y=5$$

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$x-5y=5$$

Připočítejte 5y k oběma stranám rovnice.

$$x=5y+5$$

Dosaďte 5+5y za x ve druhé rovnici, 6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

Vynásobte číslo 6 číslem 5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

Přidejte uživatele 30y do skupiny -4y.

$$26y+30=7$$

Odečtěte hodnotu 30 od obou stran rovnice.

$$26y=-23$$

Vydělte obě strany hodnotou 26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

V rovnici x=5y+5 dosaďte y za proměnnou -\frac{23}{26}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

Vynásobte číslo 5 číslem -\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

Přidejte uživatele 5 do skupiny -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Postup použití matic

Zvažte použití první rovnice. Odečtěte 5y od obou stran.

$$x-5y=5$$

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Postup použití eliminace

Zvažte použití první rovnice. Odečtěte 5y od obou stran.

$$x-5y=5$$

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Pokud chcete, aby byly členy x a 6x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 6 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 1.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Proveďte zjednodušení.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

Odečtěte rovnici 6x-4y=7 od rovnice 6x-30y=30 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

Přidejte uživatele 6x do skupiny -6x. Členy 6x a -6x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$-30y+4y=30-7$$

Přidejte uživatele -30y do skupiny 4y.

$$-26y=30-7$$

Přidejte uživatele 30 do skupiny -7.

$$-26y=23$$

Vydělte obě strany hodnotou -26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

V rovnici 6x-4y=7 dosaďte y za proměnnou -\frac{23}{26}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

Vynásobte číslo -4 číslem -\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

Odečtěte hodnotu \frac{46}{13} od obou stran rovnice.

$$6x=\frac{45}{13}$$

Vydělte obě strany hodnotou 6.

$$x=\frac{15}{26}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$