Vyřešit {l}{8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = 46 } \\ { 7 x + 3 y = 47 } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: x, y

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4,4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5,4$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro x izolováním x na levé straně rovnice.

$$8x+2y=46$$

Odečtěte hodnotu 2y od obou stran rovnice.

$$8x=-2y+46$$

Vydělte obě strany hodnotou 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{8} číslem -2y+46.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

Dosaďte \frac{-y+23}{4} za x ve druhé rovnici, 7x+3y=47.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

Vynásobte číslo 7 číslem \frac{-y+23}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

Přidejte uživatele -\frac{7y}{4} do skupiny 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

Odečtěte hodnotu \frac{161}{4} od obou stran rovnice.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou \frac{5}{4}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$y=\frac{27}{5}$$

V rovnici x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4} dosaďte y za proměnnou \frac{27}{5}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

Vynásobte zlomek -\frac{1}{4} zlomkem \frac{27}{5} tak, že vynásobíte čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem. Pokud je to možné, zlomek pak co nejvíce vykraťte.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

Připočítejte \frac{23}{4} ke -\frac{27}{20} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x=\frac{22}{5}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Pokud chcete, aby byly členy 8x a 7x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 7 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 8.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

Proveďte zjednodušení.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

Odečtěte rovnici 56x+24y=376 od rovnice 56x+14y=322 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

Přidejte uživatele 56x do skupiny -56x. Členy 56x a -56x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$14y-24y=322-376$$

Přidejte uživatele 14y do skupiny -24y.

$$-10y=322-376$$

Přidejte uživatele 322 do skupiny -376.

$$-10y=-54$$

Vydělte obě strany hodnotou -10.

$$y=\frac{27}{5}$$

V rovnici 7x+3y=47 dosaďte y za proměnnou \frac{27}{5}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

Vynásobte číslo 3 číslem \frac{27}{5}.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

Odečtěte hodnotu \frac{81}{5} od obou stran rovnice.

$$7x=\frac{154}{5}$$

Vydělte obě strany hodnotou 7.

$$x=\frac{22}{5}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$