Solve {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0.576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0.884615385$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 5y。

$$x-5y=5$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-5y=5$$

將 5y 加到方程式的兩邊。

$$x=5y+5$$

在另一個方程式 6x-4y=7 中以 5+5y 代入 x在方程式。

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

6 乘上 5+5y。

$$30y+30-4y=7$$

將 30y 加到 -4y。

$$26y+30=7$$

從方程式兩邊減去 30。

$$26y=-23$$

將兩邊同時除以 26。

$$y=-\frac{23}{26}$$

在 x=5y+5 中以 -\frac{23}{26} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

5 乘上 -\frac{23}{26}。

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

將 5 加到 -\frac{115}{26}。

$$x=\frac{15}{26}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 5y。

$$x-5y=5$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 5y。

$$x-5y=5$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

讓 x 和 6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

化簡。

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x-30y=30 減去 6x-4y=7。

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-30y+4y=30-7$$

將 -30y 加到 4y。

$$-26y=30-7$$

將 30 加到 -7。

$$-26y=23$$

將兩邊同時除以 -26。

$$y=-\frac{23}{26}$$

在 6x-4y=7 中以 -\frac{23}{26} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

-4 乘上 -\frac{23}{26}。

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

從方程式兩邊減去 \frac{46}{13}。

$$6x=\frac{45}{13}$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{15}{26}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$