Диференціювати за x
-\sin(x)
Обчислити
\cos(x)
Графік
Ділити
Скопійовано в буфер обміну
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cos(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}\right)
Похідна функції f\left(x\right) визначається як границя \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}, коли h прямує до 0 (якщо така границя існує).
\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}
Скористайтеся формулою косинуса суми.
\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x)\left(\cos(h)-1\right)-\sin(x)\sin(h)}{h}
Винесіть \cos(x) за дужки.
\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
Перепишіть межу.
\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
Під час обчислення границь скористайтеся тим фактом, що x прямує до константи, коли h прямує до 0.
\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(x)
Границя \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} дорівнює 1.
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)
Щоб обчислити границю \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, спочатку помножте чисельник і знаменник на \cos(h)+1.
\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}
Помножте \cos(h)+1 на \cos(h)-1.
\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}
Скористайтеся основною тригонометричною тотожністю.
\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
Перепишіть межу.
-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
Границя \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} дорівнює 1.
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0
Скористайтеся тим, що функція \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} неперервна в точці 0.
-\sin(x)
Підставте значення 0 у вираз \cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(x).