Розв'яжіть {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Знайдіть x, y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0,576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0,884615385$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Розгляньте перше рівняння. Відніміть 5y з обох сторін.

$$x-5y=5$$

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної x. Для цього перенесіть x до лівої стороні рівняння.

$$x-5y=5$$

Додайте 5y до обох сторін цього рівняння.

$$x=5y+5$$

Підставте 5+5y замість x в іншому рівнянні: 6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

Помножте 6 на 5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

Додайте 30y до -4y.

$$26y+30=7$$

Відніміть 30 від обох сторін цього рівняння.

$$26y=-23$$

Розділіть обидві сторони на 26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Підставте -\frac{23}{26} замість y у рівняння x=5y+5. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

Помножте 5 на -\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

Додайте 5 до -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

Систему розв’язано.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Розгляньте перше рівняння. Відніміть 5y з обох сторін.

$$x-5y=5$$

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці x і y.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Розгляньте перше рівняння. Відніміть 5y з обох сторін.

$$x-5y=5$$

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Щоб отримати рівність між x і 6x, помножте всі члени з обох сторін першого рівняння на 6, а всі члени з обох сторін другого рівняння – на 1.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Виконайте спрощення.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

Знайдіть різницю 6x-4y=7 і 6x-30y=30. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

Додайте 6x до -6x. Члени 6x та -6x відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$-30y+4y=30-7$$

Додайте -30y до 4y.

$$-26y=30-7$$

Додайте 30 до -7.

$$-26y=23$$

Розділіть обидві сторони на -26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Підставте -\frac{23}{26} замість y у рівняння 6x-4y=7. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

Помножте -4 на -\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

Відніміть \frac{46}{13} від обох сторін цього рівняння.

$$6x=\frac{45}{13}$$

Розділіть обидві сторони на 6.

$$x=\frac{15}{26}$$

Систему розв’язано.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$