Розв'яжіть {l}{8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = 46 } \\ { 7 x + 3 y = 47 } \end{array} \right.$$

Знайдіть x, y

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4,4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5,4$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної x. Для цього перенесіть x до лівої стороні рівняння.

$$8x+2y=46$$

Відніміть 2y від обох сторін цього рівняння.

$$8x=-2y+46$$

Розділіть обидві сторони на 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

Помножте \frac{1}{8} на -2y+46.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

Підставте \frac{-y+23}{4} замість x в іншому рівнянні: 7x+3y=47.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

Помножте 7 на \frac{-y+23}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

Додайте -\frac{7y}{4} до 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

Відніміть \frac{161}{4} від обох сторін цього рівняння.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

Розділіть обидві сторони рівняння на \frac{5}{4}. Це те саме, що й помножити обидві сторони на обернений дріб.

$$y=\frac{27}{5}$$

Підставте \frac{27}{5} замість y у рівняння x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

Щоб помножити -\frac{1}{4} на \frac{27}{5}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

Щоб додати \frac{23}{4} до -\frac{27}{20}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{22}{5}$$

Систему розв’язано.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці x і y.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Щоб отримати рівність між 8x і 7x, помножте всі члени з обох сторін першого рівняння на 7, а всі члени з обох сторін другого рівняння – на 8.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

Виконайте спрощення.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

Знайдіть різницю 56x+24y=376 і 56x+14y=322. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

Додайте 56x до -56x. Члени 56x та -56x відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$14y-24y=322-376$$

Додайте 14y до -24y.

$$-10y=322-376$$

Додайте 322 до -376.

$$-10y=-54$$

Розділіть обидві сторони на -10.

$$y=\frac{27}{5}$$

Підставте \frac{27}{5} замість y у рівняння 7x+3y=47. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

Помножте 3 на \frac{27}{5}.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

Відніміть \frac{81}{5} від обох сторін цього рівняння.

$$7x=\frac{154}{5}$$

Розділіть обидві сторони на 7.

$$x=\frac{22}{5}$$

Систему розв’язано.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$