แก้โจทย์ {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0.576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0.884615385$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 5y จากทั้งสองด้าน

$$x-5y=5$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-5y=5$$

เพิ่ม 5y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=5y+5$$

ทดแทน 5+5y สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 6x-4y=7

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

คูณ 6 ด้วย 5+5y

$$30y+30-4y=7$$

เพิ่ม 30y ไปยัง -4y

$$26y+30=7$$

ลบ 30 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$26y=-23$$

หารทั้งสองข้างด้วย 26

$$y=-\frac{23}{26}$$

ทดแทน -\frac{23}{26} สำหรับ y ใน x=5y+5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

คูณ 5 ด้วย -\frac{23}{26}

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

เพิ่ม 5 ไปยัง -\frac{115}{26}

$$x=\frac{15}{26}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 5y จากทั้งสองด้าน

$$x-5y=5$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 5y จากทั้งสองด้าน

$$x-5y=5$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

เพื่อทำให้ x และ 6x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

ลบ 6x-4y=7 จาก 6x-30y=30 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-30y+4y=30-7$$

เพิ่ม -30y ไปยัง 4y

$$-26y=30-7$$

เพิ่ม 30 ไปยัง -7

$$-26y=23$$

หารทั้งสองข้างด้วย -26

$$y=-\frac{23}{26}$$

ทดแทน -\frac{23}{26} สำหรับ y ใน 6x-4y=7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

คูณ -4 ด้วย -\frac{23}{26}

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

ลบ \frac{46}{13} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=\frac{45}{13}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=\frac{15}{26}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$