{l}{x=5y+5}{6x-4y=7}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=\frac{15}{26}\approx 0.576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0.884615385$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-5y=5$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x-5y=5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 5y-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=5y+5$$

பிற சமன்பாடு 6x-4y=7-இல் x-க்கு 5+5y-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

5+5y-ஐ 6 முறை பெருக்கவும்.

$$30y+30-4y=7$$

-4y-க்கு 30y-ஐக் கூட்டவும்.

$$26y+30=7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 30-ஐக் கழிக்கவும்.

$$26y=-23$$

இரு பக்கங்களையும் 26-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{23}{26}$$

x=5y+5-இல் y-க்கு -\frac{23}{26}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

-\frac{23}{26}-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

-\frac{115}{26}-க்கு 5-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{15}{26}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-5y=5$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-5y=5$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

x மற்றும் 6x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 6-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

எளிமையாக்கவும்.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 6x-30y=30-இலிருந்து 6x-4y=7-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

-6x-க்கு 6x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 6x மற்றும் -6x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-30y+4y=30-7$$

4y-க்கு -30y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-26y=30-7$$

-7-க்கு 30-ஐக் கூட்டவும்.

$$-26y=23$$

இரு பக்கங்களையும் -26-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{23}{26}$$

6x-4y=7-இல் y-க்கு -\frac{23}{26}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

-\frac{23}{26}-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{46}{13}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x=\frac{45}{13}$$

இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{15}{26}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$