Lös {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Lös ut x, y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0,576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0,884615385$$

Steg med substitution

Överväg den första ekvationen. Subtrahera 5y från båda led.

$$x-5y=5$$

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$x-5y=5$$

Addera 5y till båda ekvationsled.

$$x=5y+5$$

Ersätt x med 5+5y i den andra ekvationen, 6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

Multiplicera 6 med 5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

Addera 30y till -4y.

$$26y+30=7$$

Subtrahera 30 från båda ekvationsled.

$$26y=-23$$

Dividera båda led med 26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Ersätt y med -\frac{23}{26} i x=5y+5. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

Multiplicera 5 med -\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

Addera 5 till -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

Systemet har lösts.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Steg med matriser

Överväg den första ekvationen. Subtrahera 5y från båda led.

$$x-5y=5$$

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Steg med eliminering

Överväg den första ekvationen. Subtrahera 5y från båda led.

$$x-5y=5$$

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Gör x och 6x lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med 6 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 1.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Förenkla.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

Subtrahera 6x-4y=7 från 6x-30y=30 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

Addera 6x till -6x. Termerna 6x och -6x tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$-30y+4y=30-7$$

Addera -30y till 4y.

$$-26y=30-7$$

Addera 30 till -7.

$$-26y=23$$

Dividera båda led med -26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Ersätt y med -\frac{23}{26} i 6x-4y=7. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

Multiplicera -4 med -\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

Subtrahera \frac{46}{13} från båda ekvationsled.

$$6x=\frac{45}{13}$$

Dividera båda led med 6.

$$x=\frac{15}{26}$$

Systemet har lösts.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$