Lös {l}{8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = 46 } \\ { 7 x + 3 y = 47 } \end{array} \right.$$

Lös ut x, y

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4,4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5,4$$

Steg med substitution

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x på vänster sida om likhetstecknet.

$$8x+2y=46$$

Subtrahera 2y från båda ekvationsled.

$$8x=-2y+46$$

Dividera båda led med 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

Multiplicera \frac{1}{8} med -2y+46.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

Ersätt x med \frac{-y+23}{4} i den andra ekvationen, 7x+3y=47.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

Multiplicera 7 med \frac{-y+23}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

Addera -\frac{7y}{4} till 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

Subtrahera \frac{161}{4} från båda ekvationsled.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

Dela båda ekvationsled med \frac{5}{4}, vilket är detsamma som att multiplicera båda led med bråktalets reciprok.

$$y=\frac{27}{5}$$

Ersätt y med \frac{27}{5} i x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

Multiplicera -\frac{1}{4} med \frac{27}{5} genom att multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

Addera \frac{23}{4} till -\frac{27}{20} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x=\frac{22}{5}$$

Systemet har lösts.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Steg med matriser

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Steg med eliminering

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Gör 8x och 7x lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med 7 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 8.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

Förenkla.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

Subtrahera 56x+24y=376 från 56x+14y=322 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

Addera 56x till -56x. Termerna 56x och -56x förkortas och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$14y-24y=322-376$$

Addera 14y till -24y.

$$-10y=322-376$$

Addera 322 till -376.

$$-10y=-54$$

Dividera båda led med -10.

$$y=\frac{27}{5}$$

Ersätt y med \frac{27}{5} i 7x+3y=47. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

Multiplicera 3 med \frac{27}{5}.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

Subtrahera \frac{81}{5} från båda ekvationsled.

$$7x=\frac{154}{5}$$

Dividera båda led med 7.

$$x=\frac{22}{5}$$

Systemet har lösts.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$