Rešite {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Rešitev za x, y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0,576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0,884615385$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Razmislite o prvi enačbi. Odštejte 5y na obeh straneh.

$$x-5y=5$$

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$x-5y=5$$

Prištejte 5y na obe strani enačbe.

$$x=5y+5$$

Vstavite 5+5y za x v drugo enačbo 6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

Pomnožite 6 s/z 5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

Seštejte 30y in -4y.

$$26y+30=7$$

Odštejte 30 na obeh straneh enačbe.

$$26y=-23$$

Delite obe strani z vrednostjo 26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Vstavite -\frac{23}{26} za y v enačbi x=5y+5. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

Pomnožite 5 s/z -\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

Seštejte 5 in -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Koraki z uporabo matrik

Razmislite o prvi enačbi. Odštejte 5y na obeh straneh.

$$x-5y=5$$

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je obratna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko matrično enačbo znova napišete v obliki problema množenja matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Koraki z uporabo izločanja

Razmislite o prvi enačbi. Odštejte 5y na obeh straneh.

$$x-5y=5$$

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Če želite izenačiti x in 6x, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z 6 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z 1.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Poenostavite.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

Odštejte 6x-4y=7 od 6x-30y=30 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

Seštejte 6x in -6x. Z okrajšanjem izrazov 6x in -6x ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$-30y+4y=30-7$$

Seštejte -30y in 4y.

$$-26y=30-7$$

Seštejte 30 in -7.

$$-26y=23$$

Delite obe strani z vrednostjo -26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Vstavite -\frac{23}{26} za y v enačbi 6x-4y=7. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

Pomnožite -4 s/z -\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

Odštejte \frac{46}{13} na obeh straneh enačbe.

$$6x=\frac{45}{13}$$

Delite obe strani z vrednostjo 6.

$$x=\frac{15}{26}$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$