Rešite {l}{8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = 46 } \\ { 7 x + 3 y = 47 } \end{array} \right.$$

Rešitev za x, y

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4,4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5,4$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$8x+2y=46$$

Odštejte 2y na obeh straneh enačbe.

$$8x=-2y+46$$

Delite obe strani z vrednostjo 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

Pomnožite \frac{1}{8} s/z -2y+46.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

Vstavite \frac{-y+23}{4} za x v drugo enačbo 7x+3y=47.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

Pomnožite 7 s/z \frac{-y+23}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

Seštejte -\frac{7y}{4} in 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

Odštejte \frac{161}{4} na obeh straneh enačbe.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

Delite obe strani enačbe s/z \frac{5}{4}, kar je enako množenju obeh strani enačbe z obratnim ulomkom.

$$y=\frac{27}{5}$$

Vstavite \frac{27}{5} za y v enačbi x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

Pomnožite -\frac{1}{4} s/z \frac{27}{5} tako, da pomnožite števec s števcem in imenovalec z imenovalcem. Nato okrajšajte ulomek na najnižje člene, če je mogoče.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

Seštejte \frac{23}{4} in -\frac{27}{20} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x=\frac{22}{5}$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Koraki z uporabo matrik

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je obratna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko matrično enačbo znova napišete v obliki problema množenja matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Koraki z uporabo izločanja

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Če želite izenačiti 8x in 7x, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z 7 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z 8.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

Poenostavite.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

Odštejte 56x+24y=376 od 56x+14y=322 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

Seštejte 56x in -56x. Z okrajšanjem izrazov 56x in -56x ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$14y-24y=322-376$$

Seštejte 14y in -24y.

$$-10y=322-376$$

Seštejte 322 in -376.

$$-10y=-54$$

Delite obe strani z vrednostjo -10.

$$y=\frac{27}{5}$$

Vstavite \frac{27}{5} za y v enačbi 7x+3y=47. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

Pomnožite 3 s/z \frac{27}{5}.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

Odštejte \frac{81}{5} na obeh straneh enačbe.

$$7x=\frac{154}{5}$$

Delite obe strani z vrednostjo 7.

$$x=\frac{22}{5}$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$