Решить {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0.576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0.884615385$$

Действия с использованием подстановок

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите 5y из обеих частей уравнения.

$$x-5y=5$$

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$x-5y=5$$

Прибавьте 5y к обеим частям уравнения.

$$x=5y+5$$

Подставьте 5+5y вместо x в другом уравнении 6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

Умножьте 6 на 5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

Прибавьте 30y к -4y.

$$26y+30=7$$

Вычтите 30 из обеих частей уравнения.

$$26y=-23$$

Разделите обе части на 26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Подставьте -\frac{23}{26} вместо y в x=5y+5. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

Умножьте 5 на -\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

Прибавьте 5 к -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

Система решена.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Действия с использованием матриц

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите 5y из обеих частей уравнения.

$$x-5y=5$$

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Действия с использованием исключения

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите 5y из обеих частей уравнения.

$$x-5y=5$$

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Чтобы сделать x и 6x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 6 и все члены в обеих частях второго уравнения на 1.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Упростите.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

Вычтите 6x-4y=7 из 6x-30y=30 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

Прибавьте 6x к -6x. Члены 6x и -6x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-30y+4y=30-7$$

Прибавьте -30y к 4y.

$$-26y=30-7$$

Прибавьте 30 к -7.

$$-26y=23$$

Разделите обе части на -26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Подставьте -\frac{23}{26} вместо y в 6x-4y=7. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

Умножьте -4 на -\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

Вычтите \frac{46}{13} из обеих частей уравнения.

$$6x=\frac{45}{13}$$

Разделите обе части на 6.

$$x=\frac{15}{26}$$

Система решена.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$