Решить {l}{8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = 46 } \\ { 7 x + 3 y = 47 } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4,4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5,4$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Выберите одно из уравнений и решите его для x путем изоляция x в левой части уравнения.

$$8x+2y=46$$

Вычтите 2y из обеих частей уравнения.

$$8x=-2y+46$$

Разделите обе части на 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

Умножьте \frac{1}{8} на -2y+46.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

Подставьте \frac{-y+23}{4} вместо x в другом уравнении 7x+3y=47.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

Умножьте 7 на \frac{-y+23}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

Прибавьте -\frac{7y}{4} к 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

Вычтите \frac{161}{4} из обеих частей уравнения.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

Разделите обе стороны уравнения на \frac{5}{4}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$y=\frac{27}{5}$$

Подставьте \frac{27}{5} вместо y в x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

Умножьте -\frac{1}{4} на \frac{27}{5}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

Прибавьте \frac{23}{4} к -\frac{27}{20}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=\frac{22}{5}$$

Система решена.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Чтобы сделать 8x и 7x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 7 и все члены в обеих частях второго уравнения на 8.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

Упростите.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

Вычтите 56x+24y=376 из 56x+14y=322 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

Прибавьте 56x к -56x. Члены 56x и -56x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$14y-24y=322-376$$

Прибавьте 14y к -24y.

$$-10y=322-376$$

Прибавьте 322 к -376.

$$-10y=-54$$

Разделите обе части на -10.

$$y=\frac{27}{5}$$

Подставьте \frac{27}{5} вместо y в 7x+3y=47. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

Умножьте 3 на \frac{27}{5}.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

Вычтите \frac{81}{5} из обеих частей уравнения.

$$7x=\frac{154}{5}$$

Разделите обе части на 7.

$$x=\frac{22}{5}$$

Система решена.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$