Rezolvați {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0,576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0,884615385$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți 5y din ambele părți.

$$x-5y=5$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$x-5y=5$$

Adunați 5y la ambele părți ale ecuației.

$$x=5y+5$$

Înlocuiți x cu 5+5y în cealaltă ecuație, 6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

Înmulțiți 6 cu 5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

Adunați 30y cu -4y.

$$26y+30=7$$

Scădeți 30 din ambele părți ale ecuației.

$$26y=-23$$

Se împart ambele părți la 26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Înlocuiți y cu -\frac{23}{26} în x=5y+5. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

Înmulțiți 5 cu -\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

Adunați 5 cu -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți 5y din ambele părți.

$$x-5y=5$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți 5y din ambele părți.

$$x-5y=5$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Pentru a egala x și 6x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 6 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 1.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Simplificați.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

Scădeți pe 6x-4y=7 din 6x-30y=30 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

Adunați 6x cu -6x. Termenii 6x și -6x se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-30y+4y=30-7$$

Adunați -30y cu 4y.

$$-26y=30-7$$

Adunați 30 cu -7.

$$-26y=23$$

Se împart ambele părți la -26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Înlocuiți y cu -\frac{23}{26} în 6x-4y=7. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

Înmulțiți -4 cu -\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

Scădeți \frac{46}{13} din ambele părți ale ecuației.

$$6x=\frac{45}{13}$$

Se împart ambele părți la 6.

$$x=\frac{15}{26}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$