Rezolvați {l}{8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = 46 } \\ { 7 x + 3 y = 47 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4,4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5,4$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$8x+2y=46$$

Scădeți 2y din ambele părți ale ecuației.

$$8x=-2y+46$$

Se împart ambele părți la 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{8} cu -2y+46.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

Înlocuiți x cu \frac{-y+23}{4} în cealaltă ecuație, 7x+3y=47.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

Înmulțiți 7 cu \frac{-y+23}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

Adunați -\frac{7y}{4} cu 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

Scădeți \frac{161}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la \frac{5}{4}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$y=\frac{27}{5}$$

Înlocuiți y cu \frac{27}{5} în x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

Înmulțiți -\frac{1}{4} cu \frac{27}{5} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

Adunați \frac{23}{4} cu -\frac{27}{20} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=\frac{22}{5}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Pentru a egala 8x și 7x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 7 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 8.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

Simplificați.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

Scădeți pe 56x+24y=376 din 56x+14y=322 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

Adunați 56x cu -56x. Termenii 56x și -56x se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$14y-24y=322-376$$

Adunați 14y cu -24y.

$$-10y=322-376$$

Adunați 322 cu -376.

$$-10y=-54$$

Se împart ambele părți la -10.

$$y=\frac{27}{5}$$

Înlocuiți y cu \frac{27}{5} în 7x+3y=47. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

Înmulțiți 3 cu \frac{27}{5}.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

Scădeți \frac{81}{5} din ambele părți ale ecuației.

$$7x=\frac{154}{5}$$

Se împart ambele părți la 7.

$$x=\frac{22}{5}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$