Rezolvați z^6-z^3+1=0

$$z ^ { 6 } - z ^ { 3 } + 1 = 0$$

Rezolvați pentru z

$$z\in e^{\frac{5\pi i}{9}},e^{\frac{17\pi i}{9}},e^{\frac{11\pi i}{9}},e^{\frac{13\pi i}{9}},e^{\frac{\pi i}{9}},e^{\frac{7\pi i}{9}}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înlocuiți z^{3} cu t.

$$t^{2}-t+1=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu -1 și c cu 1.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Faceți calculele.

$$t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}$$

Rezolvați ecuația t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2} când ± este plus și când ± este minus.

$$t=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} t=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

De la z=t^{3}, soluțiile sunt obținute prin rezolvarea ecuației pentru fiecare t.

$$z=-e^{\frac{4\pi i}{9}} z=ie^{\frac{5\pi i}{18}} z=e^{\frac{\pi i}{9}} z=-ie^{\frac{7\pi i}{18}} z=-e^{\frac{2\pi i}{9}} z=ie^{\frac{\pi i}{18}}$$