Rezolvați z^3+3z^2+4z-8=0

$$z ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } + 4 z - 8 = 0$$

Rezolvați pentru z (complex solution)

$$z=-2-2i$$

$$z=1$$

$$z=-2+2i$$

Pașii soluției

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -8 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$z=1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, z-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți z^{3}+3z^{2}+4z-8 la z-1 pentru a obține z^{2}+4z+8. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$z^{2}+4z+8=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu 4 și c cu 8.

$$z=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

Faceți calculele.

$$z=\frac{-4±\sqrt{-16}}{2}$$

Rezolvați ecuația z^{2}+4z+8=0 când ± este plus și când ± este minus.

$$z=-2-2i z=-2+2i$$

Listați toate soluțiile găsite.

$$z=1 z=-2-2i z=-2+2i$$

Rezolvați pentru z

$$z=1$$

Pașii soluției

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -8 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$z=1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, z-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți z^{3}+3z^{2}+4z-8 la z-1 pentru a obține z^{2}+4z+8. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$z^{2}+4z+8=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu 4 și c cu 8.

$$z=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

Faceți calculele.

$$z=\frac{-4±\sqrt{-16}}{2}$$

Pentru că rădăcina pătrată a unui număr negativ nu este definită în câmpul real, nu există soluții.

$$z\in \emptyset$$

Listați toate soluțiile găsite.

$$z=1$$