Rezolvați z^2-2iz+3=0

$$z ^ { 2 } - 2 i z + 3 = 0$$

Rezolvați pentru z

$$z=3i$$

$$z=-i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$z^{2}-2iz+3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -2i și c cu 3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{2i±\sqrt{\left(-2i\right)^{2}-4\times 3}}{2}$$

Ridicați -2i la pătrat.

$$z=\frac{2i±\sqrt{-4-4\times 3}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$z=\frac{2i±\sqrt{-4-12}}{2}$$

Adunați -4 cu -12.

$$z=\frac{2i±\sqrt{-16}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -16.

$$z=\frac{2i±4i}{2}$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{2i±4i}{2} atunci când ± este plus. Adunați 2i cu 4i.

$$z=\frac{6i}{2}$$

Împărțiți 6i la 2.

$$z=3i$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{2i±4i}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 4i din 2i.

$$z=\frac{-2i}{2}$$

Împărțiți -2i la 2.

$$z=-i$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$z=3i z=-i$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-2iz+3=0$$

Scădeți 3 din ambele părți ale ecuației.

$$z^{2}-2iz+3-3=-3$$

Scăderea 3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$z^{2}-2iz=-3$$

Împărțiți -2i, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -i. Apoi, adunați pătratul lui -i la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$z^{2}-2iz+\left(-i\right)^{2}=-3+\left(-i\right)^{2}$$

Ridicați -i la pătrat.

$$z^{2}-2iz-1=-3-1$$

Adunați -3 cu -1.

$$z^{2}-2iz-1=-4$$

Factor z^{2}-2iz-1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-i\right)^{2}=-4$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(z-i\right)^{2}}=\sqrt{-4}$$

Simplificați.

$$z-i=2i z-i=-2i$$

Adunați i la ambele părți ale ecuației.

$$z=3i z=-i$$