Rezolvați z^2+3z-30=(2z+5)(z+6)

$$z ^ { 2 } + 3 z - 30 = ( 2 z + 5 ) ( z + 6 )$$

Rezolvați pentru z

$$z=-\sqrt{11}i-7\approx -7-3,31662479i$$

$$z=-7+\sqrt{11}i\approx -7+3,31662479i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2z+5 cu z+6 și a combina termenii similari.

$$z^{2}+3z-30=2z^{2}+17z+30$$

Scădeți 2z^{2} din ambele părți.

$$z^{2}+3z-30-2z^{2}=17z+30$$

Combinați z^{2} cu -2z^{2} pentru a obține -z^{2}.

$$-z^{2}+3z-30=17z+30$$

Scădeți 17z din ambele părți.

$$-z^{2}+3z-30-17z=30$$

Combinați 3z cu -17z pentru a obține -14z.

$$-z^{2}-14z-30=30$$

Scădeți 30 din ambele părți.

$$-z^{2}-14z-30-30=0$$

Scădeți 30 din -30 pentru a obține -60.

$$-z^{2}-14z-60=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu -14 și c cu -60 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-60\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați -14 la pătrat.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-60\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+4\left(-60\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu -60.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-240}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 196 cu -240.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-44}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -44.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{11}i}{2\left(-1\right)}$$

Opusul lui -14 este 14.

$$z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{-2} atunci când ± este plus. Adunați 14 cu 2i\sqrt{11}.

$$z=\frac{14+2\sqrt{11}i}{-2}$$

Împărțiți 14+2i\sqrt{11} la -2.

$$z=-\sqrt{11}i-7$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{11} din 14.

$$z=\frac{-2\sqrt{11}i+14}{-2}$$

Împărțiți 14-2i\sqrt{11} la -2.

$$z=-7+\sqrt{11}i$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$z=-\sqrt{11}i-7 z=-7+\sqrt{11}i$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2z+5 cu z+6 și a combina termenii similari.

$$z^{2}+3z-30=2z^{2}+17z+30$$

Scădeți 2z^{2} din ambele părți.

$$z^{2}+3z-30-2z^{2}=17z+30$$

Combinați z^{2} cu -2z^{2} pentru a obține -z^{2}.

$$-z^{2}+3z-30=17z+30$$

Scădeți 17z din ambele părți.

$$-z^{2}+3z-30-17z=30$$

Combinați 3z cu -17z pentru a obține -14z.

$$-z^{2}-14z-30=30$$

Adăugați 30 la ambele părți.

$$-z^{2}-14z=30+30$$

Adunați 30 și 30 pentru a obține 60.

$$-z^{2}-14z=60$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-z^{2}-14z}{-1}=\frac{60}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$z^{2}+\left(-\frac{14}{-1}\right)z=\frac{60}{-1}$$

Împărțiți -14 la -1.

$$z^{2}+14z=\frac{60}{-1}$$

Împărțiți 60 la -1.

$$z^{2}+14z=-60$$

Împărțiți 14, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 7. Apoi, adunați pătratul lui 7 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$z^{2}+14z+7^{2}=-60+7^{2}$$

Ridicați 7 la pătrat.

$$z^{2}+14z+49=-60+49$$

Adunați -60 cu 49.

$$z^{2}+14z+49=-11$$

Factor z^{2}+14z+49. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+7\right)^{2}=-11$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(z+7\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

Simplificați.

$$z+7=\sqrt{11}i z+7=-\sqrt{11}i$$

Scădeți 7 din ambele părți ale ecuației.

$$z=-7+\sqrt{11}i z=-\sqrt{11}i-7$$