Rezolvați z^2+14=9z

$$z ^ { 2 } + 14 = 9 z$$

Rezolvați pentru z

$$z=2$$

$$z=7$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Scădeți 9z din ambele părți.

$$z^{2}+14-9z=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$z^{2}-9z+14=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul z^{2}-9z+14 utilizând formula z^{2}+\left(a+b\right)z+ab=\left(z+a\right)\left(z+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-9 ab=14$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 14.

$$-1,-14 -2,-7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-14=-15 -2-7=-9$$

Soluția este perechea care dă suma de -9.

$$a=-7 b=-2$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(z+a\right)\left(z+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(z-7\right)\left(z-2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați z-7=0 și z-2=0.

$$z=7 z=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 9z din ambele părți.

$$z^{2}+14-9z=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$z^{2}-9z+14=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca z^{2}+az+bz+14. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-9 ab=1\times 14=14$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 14.

$$-1,-14 -2,-7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-14=-15 -2-7=-9$$

Soluția este perechea care dă suma de -9.

$$a=-7 b=-2$$

Rescrieți z^{2}-9z+14 ca \left(z^{2}-7z\right)+\left(-2z+14\right).

$$\left(z^{2}-7z\right)+\left(-2z+14\right)$$

Factor z în primul și -2 în al doilea grup.

$$z\left(z-7\right)-2\left(z-7\right)$$

Scoateți termenul comun z-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(z-7\right)\left(z-2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați z-7=0 și z-2=0.

$$z=7 z=2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți 9z din ambele părți.

$$z^{2}+14-9z=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$z^{2}-9z+14=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -9 și c cu 14 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 14}}{2}$$

Ridicați -9 la pătrat.

$$z=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 14}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 14.

$$z=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-56}}{2}$$

Adunați 81 cu -56.

$$z=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{25}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 25.

$$z=\frac{-\left(-9\right)±5}{2}$$

Opusul lui -9 este 9.

$$z=\frac{9±5}{2}$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{9±5}{2} atunci când ± este plus. Adunați 9 cu 5.

$$z=\frac{14}{2}$$

Împărțiți 14 la 2.

$$z=7$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{9±5}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 5 din 9.

$$z=\frac{4}{2}$$

Împărțiți 4 la 2.

$$z=2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$z=7 z=2$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți 9z din ambele părți.

$$z^{2}+14-9z=0$$

Scădeți 14 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$z^{2}-9z=-14$$

Împărțiți -9, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{9}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{9}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$z^{2}-9z+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=-14+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{9}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$z^{2}-9z+\frac{81}{4}=-14+\frac{81}{4}$$

Adunați -14 cu \frac{81}{4}.

$$z^{2}-9z+\frac{81}{4}=\frac{25}{4}$$

Factor z^{2}-9z+\frac{81}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(z-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Simplificați.

$$z-\frac{9}{2}=\frac{5}{2} z-\frac{9}{2}=-\frac{5}{2}$$

Adunați \frac{9}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$z=7 z=2$$