Rezolvați y-3x=2text{and}7x-2y=8

$$y - 3 x = 2 \text { and } 7 x - 2 y = 8$$

Rezolvați pentru y, x

$$x=12$$

$$y=38$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru y, prin izolarea lui y pe partea din stânga semnului egal.

$$y-3x=2$$

Adunați 3x la ambele părți ale ecuației.

$$y=3x+2$$

Înlocuiți y cu 3x+2 în cealaltă ecuație, -2y+7x=8.

$$-2\left(3x+2\right)+7x=8$$

Înmulțiți -2 cu 3x+2.

$$-6x-4+7x=8$$

Adunați -6x cu 7x.

$$x-4=8$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$x=12$$

Înlocuiți x cu 12 în y=3x+2. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$y=3\times 12+2$$

Înmulțiți 3 cu 12.

$$y=36+2$$

Adunați 2 cu 36.

$$y=38$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$y=38,x=12$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 2+3\times 8\\2\times 2+8\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\12\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele y și x ale matricei.

$$y=38,x=12$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Pentru a egala y și -2y, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu -2 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 1.

$$-2y-2\left(-3\right)x=-2\times 2,-2y+7x=8$$

Simplificați.

$$-2y+6x=-4,-2y+7x=8$$

Scădeți pe -2y+7x=8 din -2y+6x=-4 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$-2y+2y+6x-7x=-4-8$$

Adunați -2y cu 2y. Termenii -2y și 2y se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$6x-7x=-4-8$$

Adunați 6x cu -7x.

$$-x=-4-8$$

Adunați -4 cu -8.

$$-x=-12$$

Se împart ambele părți la -1.

$$x=12$$

Înlocuiți x cu 12 în -2y+7x=8. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$-2y+7\times 12=8$$

Înmulțiți 7 cu 12.

$$-2y+84=8$$

Scădeți 84 din ambele părți ale ecuației.

$$-2y=-76$$

Se împart ambele părți la -2.

$$y=38$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$y=38,x=12$$