Rezolvați y^2-8y+12=0

$$y ^ { 2 } - 8 y + 12 = 0$$

Rezolvați pentru y

$$y=2$$

$$y=6$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori y^{2}-8y+12 utilizând formula y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-8 ab=12$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt ambele negative. Enumerați toate perechile întregi care oferă 12 de produs.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Soluția este perechea care dă suma de -8.

$$a=-6 b=-2$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(y+a\right)\left(y+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(y-6\right)\left(y-2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați y-6=0 și y-2=0.

$$y=6 y=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca y^{2}+ay+by+12. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-8 ab=1\times 12=12$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt ambele negative. Enumerați toate perechile întregi care oferă 12 de produs.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Soluția este perechea care dă suma de -8.

$$a=-6 b=-2$$

Rescrieți y^{2}-8y+12 ca \left(y^{2}-6y\right)+\left(-2y+12\right).

$$\left(y^{2}-6y\right)+\left(-2y+12\right)$$

Scoateți scoateți factorul y din primul și -2 din cel de-al doilea grup.

$$y\left(y-6\right)-2\left(y-6\right)$$

Scoateți termenul comun y-6 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(y-6\right)\left(y-2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați y-6=0 și y-2=0.

$$y=6 y=2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$y^{2}-8y+12=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -8 și c cu 12 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 12}}{2}$$

Ridicați -8 la pătrat.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 12}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 12.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-48}}{2}$$

Adunați 64 cu -48.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{16}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 16.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±4}{2}$$

Opusul lui -8 este 8.

$$y=\frac{8±4}{2}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{8±4}{2} atunci când ± este plus. Adunați 8 cu 4.

$$y=\frac{12}{2}$$

Împărțiți 12 la 2.

$$y=6$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{8±4}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 4 din 8.

$$y=\frac{4}{2}$$

Împărțiți 4 la 2.

$$y=2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=6 y=2$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-8y+12=0$$

Scădeți 12 din ambele părți ale ecuației.

$$y^{2}-8y+12-12=-12$$

Scăderea 12 din el însuși are ca rezultat 0.

$$y^{2}-8y=-12$$

Împărțiți -8, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -4. Apoi, adunați pătratul lui -4 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}-8y+\left(-4\right)^{2}=-12+\left(-4\right)^{2}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$y^{2}-8y+16=-12+16$$

Adunați -12 cu 16.

$$y^{2}-8y+16=4$$

Factorul y^{2}-8y+16. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-4\right)^{2}=4$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y-4\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Simplificați.

$$y-4=2 y-4=-2$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$y=6 y=2$$