Rezolvați y^2-7y+6=0

$$y ^ { 2 } - 7 y + 6 = 0$$

Rezolvați pentru y

$$y=1$$

$$y=6$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul y^{2}-7y+6 utilizând formula y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-7 ab=6$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 6.

$$-1,-6 -2,-3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

Soluția este perechea care dă suma de -7.

$$a=-6 b=-1$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(y+a\right)\left(y+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(y-6\right)\left(y-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați y-6=0 și y-1=0.

$$y=6 y=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca y^{2}+ay+by+6. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-7 ab=1\times 6=6$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 6.

$$-1,-6 -2,-3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

Soluția este perechea care dă suma de -7.

$$a=-6 b=-1$$

Rescrieți y^{2}-7y+6 ca \left(y^{2}-6y\right)+\left(-y+6\right).

$$\left(y^{2}-6y\right)+\left(-y+6\right)$$

Factor y în primul și -1 în al doilea grup.

$$y\left(y-6\right)-\left(y-6\right)$$

Scoateți termenul comun y-6 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(y-6\right)\left(y-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați y-6=0 și y-1=0.

$$y=6 y=1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$y^{2}-7y+6=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -7 și c cu 6 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 6}}{2}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 6}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24}}{2}$$

Adunați 49 cu -24.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{25}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 25.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±5}{2}$$

Opusul lui -7 este 7.

$$y=\frac{7±5}{2}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{7±5}{2} atunci când ± este plus. Adunați 7 cu 5.

$$y=\frac{12}{2}$$

Împărțiți 12 la 2.

$$y=6$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{7±5}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 5 din 7.

$$y=\frac{2}{2}$$

Împărțiți 2 la 2.

$$y=1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=6 y=1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-7y+6=0$$

Scădeți 6 din ambele părți ale ecuației.

$$y^{2}-7y+6-6=-6$$

Scăderea 6 din el însuși are ca rezultat 0.

$$y^{2}-7y=-6$$

Împărțiți -7, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}-7y+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-6+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}-7y+\frac{49}{4}=-6+\frac{49}{4}$$

Adunați -6 cu \frac{49}{4}.

$$y^{2}-7y+\frac{49}{4}=\frac{25}{4}$$

Factor y^{2}-7y+\frac{49}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Simplificați.

$$y-\frac{7}{2}=\frac{5}{2} y-\frac{7}{2}=-\frac{5}{2}$$

Adunați \frac{7}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$y=6 y=1$$