Rezolvați y^2-42y+216=0

$$y ^ { 2 } - 42 y + 216 = 0$$

Rezolvați pentru y

$$y=6$$

$$y=36$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul y^{2}-42y+216 utilizând formula y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-42 ab=216$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 216.

$$-1,-216 -2,-108 -3,-72 -4,-54 -6,-36 -8,-27 -9,-24 -12,-18$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-216=-217 -2-108=-110 -3-72=-75 -4-54=-58 -6-36=-42 -8-27=-35 -9-24=-33 -12-18=-30$$

Soluția este perechea care dă suma de -42.

$$a=-36 b=-6$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(y+a\right)\left(y+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(y-36\right)\left(y-6\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați y-36=0 și y-6=0.

$$y=36 y=6$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca y^{2}+ay+by+216. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-42 ab=1\times 216=216$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 216.

$$-1,-216 -2,-108 -3,-72 -4,-54 -6,-36 -8,-27 -9,-24 -12,-18$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-216=-217 -2-108=-110 -3-72=-75 -4-54=-58 -6-36=-42 -8-27=-35 -9-24=-33 -12-18=-30$$

Soluția este perechea care dă suma de -42.

$$a=-36 b=-6$$

Rescrieți y^{2}-42y+216 ca \left(y^{2}-36y\right)+\left(-6y+216\right).

$$\left(y^{2}-36y\right)+\left(-6y+216\right)$$

Factor y în primul și -6 în al doilea grup.

$$y\left(y-36\right)-6\left(y-36\right)$$

Scoateți termenul comun y-36 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(y-36\right)\left(y-6\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați y-36=0 și y-6=0.

$$y=36 y=6$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$y^{2}-42y+216=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -42 și c cu 216 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{\left(-42\right)^{2}-4\times 216}}{2}$$

Ridicați -42 la pătrat.

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-4\times 216}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 216.

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-864}}{2}$$

Adunați 1764 cu -864.

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{900}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 900.

$$y=\frac{-\left(-42\right)±30}{2}$$

Opusul lui -42 este 42.

$$y=\frac{42±30}{2}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{42±30}{2} atunci când ± este plus. Adunați 42 cu 30.

$$y=\frac{72}{2}$$

Împărțiți 72 la 2.

$$y=36$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{42±30}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 30 din 42.

$$y=\frac{12}{2}$$

Împărțiți 12 la 2.

$$y=6$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=36 y=6$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-42y+216=0$$

Scădeți 216 din ambele părți ale ecuației.

$$y^{2}-42y+216-216=-216$$

Scăderea 216 din el însuși are ca rezultat 0.

$$y^{2}-42y=-216$$

Împărțiți -42, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -21. Apoi, adunați pătratul lui -21 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}-42y+\left(-21\right)^{2}=-216+\left(-21\right)^{2}$$

Ridicați -21 la pătrat.

$$y^{2}-42y+441=-216+441$$

Adunați -216 cu 441.

$$y^{2}-42y+441=225$$

Factor y^{2}-42y+441. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-21\right)^{2}=225$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y-21\right)^{2}}=\sqrt{225}$$

Simplificați.

$$y-21=15 y-21=-15$$

Adunați 21 la ambele părți ale ecuației.

$$y=36 y=6$$