Rezolvați y^2-17y+30=0

$$y ^ { 2 } - 17 y + 30 = 0$$

Rezolvați pentru y

$$y=2$$

$$y=15$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori y^{2}-17y+30 utilizând formula y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-17 ab=30$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt ambele negative. Enumerați toate perechile întregi care oferă 30 de produs.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Soluția este perechea care dă suma de -17.

$$a=-15 b=-2$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(y+a\right)\left(y+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați y-15=0 și y-2=0.

$$y=15 y=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca y^{2}+ay+by+30. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-17 ab=1\times 30=30$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt ambele negative. Enumerați toate perechile întregi care oferă 30 de produs.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Soluția este perechea care dă suma de -17.

$$a=-15 b=-2$$

Rescrieți y^{2}-17y+30 ca \left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right).

$$\left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right)$$

Scoateți scoateți factorul y din primul și -2 din cel de-al doilea grup.

$$y\left(y-15\right)-2\left(y-15\right)$$

Scoateți termenul comun y-15 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați y-15=0 și y-2=0.

$$y=15 y=2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$y^{2}-17y+30=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -17 și c cu 30 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 30}}{2}$$

Ridicați -17 la pătrat.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 30}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 30.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-120}}{2}$$

Adunați 289 cu -120.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 169.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±13}{2}$$

Opusul lui -17 este 17.

$$y=\frac{17±13}{2}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{17±13}{2} atunci când ± este plus. Adunați 17 cu 13.

$$y=\frac{30}{2}$$

Împărțiți 30 la 2.

$$y=15$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{17±13}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 13 din 17.

$$y=\frac{4}{2}$$

Împărțiți 4 la 2.

$$y=2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=15 y=2$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-17y+30=0$$

Scădeți 30 din ambele părți ale ecuației.

$$y^{2}-17y+30-30=-30$$

Scăderea 30 din el însuși are ca rezultat 0.

$$y^{2}-17y=-30$$

Împărțiți -17, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{17}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{17}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}-17y+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{17}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=-30+\frac{289}{4}$$

Adunați -30 cu \frac{289}{4}.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=\frac{169}{4}$$

Factorul y^{2}-17y+\frac{289}{4}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Simplificați.

$$y-\frac{17}{2}=\frac{13}{2} y-\frac{17}{2}=-\frac{13}{2}$$

Adunați \frac{17}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$y=15 y=2$$