Rezolvați y^2-14y+33=0

$$y ^ { 2 } - 14 y + 33 = 0$$

Rezolvați pentru y

$$y=3$$

$$y=11$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul y^{2}-14y+33 utilizând formula y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-14 ab=33$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 33.

$$-1,-33 -3,-11$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-33=-34 -3-11=-14$$

Soluția este perechea care dă suma de -14.

$$a=-11 b=-3$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(y+a\right)\left(y+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(y-11\right)\left(y-3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați y-11=0 și y-3=0.

$$y=11 y=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca y^{2}+ay+by+33. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-14 ab=1\times 33=33$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 33.

$$-1,-33 -3,-11$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-33=-34 -3-11=-14$$

Soluția este perechea care dă suma de -14.

$$a=-11 b=-3$$

Rescrieți y^{2}-14y+33 ca \left(y^{2}-11y\right)+\left(-3y+33\right).

$$\left(y^{2}-11y\right)+\left(-3y+33\right)$$

Factor y în primul și -3 în al doilea grup.

$$y\left(y-11\right)-3\left(y-11\right)$$

Scoateți termenul comun y-11 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(y-11\right)\left(y-3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați y-11=0 și y-3=0.

$$y=11 y=3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$y^{2}-14y+33=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -14 și c cu 33 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 33}}{2}$$

Ridicați -14 la pătrat.

$$y=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 33}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 33.

$$y=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-132}}{2}$$

Adunați 196 cu -132.

$$y=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{64}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 64.

$$y=\frac{-\left(-14\right)±8}{2}$$

Opusul lui -14 este 14.

$$y=\frac{14±8}{2}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{14±8}{2} atunci când ± este plus. Adunați 14 cu 8.

$$y=\frac{22}{2}$$

Împărțiți 22 la 2.

$$y=11$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{14±8}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 8 din 14.

$$y=\frac{6}{2}$$

Împărțiți 6 la 2.

$$y=3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=11 y=3$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-14y+33=0$$

Scădeți 33 din ambele părți ale ecuației.

$$y^{2}-14y+33-33=-33$$

Scăderea 33 din el însuși are ca rezultat 0.

$$y^{2}-14y=-33$$

Împărțiți -14, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -7. Apoi, adunați pătratul lui -7 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}-14y+\left(-7\right)^{2}=-33+\left(-7\right)^{2}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$y^{2}-14y+49=-33+49$$

Adunați -33 cu 49.

$$y^{2}-14y+49=16$$

Factor y^{2}-14y+49. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-7\right)^{2}=16$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y-7\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Simplificați.

$$y-7=4 y-7=-4$$

Adunați 7 la ambele părți ale ecuației.

$$y=11 y=3$$