Rezolvați y^2-10y+16=0

$$y ^ { 2 } - 10 y + 16 = 0$$

Rezolvați pentru y

$$y=2$$

$$y=8$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori y^{2}-10y+16 utilizând formula y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-10 ab=16$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt ambele negative. Enumerați toate perechile întregi care oferă 16 de produs.

$$-1,-16 -2,-8 -4,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-16=-17 -2-8=-10 -4-4=-8$$

Soluția este perechea care dă suma de -10.

$$a=-8 b=-2$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(y+a\right)\left(y+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(y-8\right)\left(y-2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați y-8=0 și y-2=0.

$$y=8 y=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca y^{2}+ay+by+16. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-10 ab=1\times 16=16$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt ambele negative. Enumerați toate perechile întregi care oferă 16 de produs.

$$-1,-16 -2,-8 -4,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-16=-17 -2-8=-10 -4-4=-8$$

Soluția este perechea care dă suma de -10.

$$a=-8 b=-2$$

Rescrieți y^{2}-10y+16 ca \left(y^{2}-8y\right)+\left(-2y+16\right).

$$\left(y^{2}-8y\right)+\left(-2y+16\right)$$

Scoateți scoateți factorul y din primul și -2 din cel de-al doilea grup.

$$y\left(y-8\right)-2\left(y-8\right)$$

Scoateți termenul comun y-8 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(y-8\right)\left(y-2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați y-8=0 și y-2=0.

$$y=8 y=2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$y^{2}-10y+16=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -10 și c cu 16 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 16}}{2}$$

Ridicați -10 la pătrat.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 16}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 16.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-64}}{2}$$

Adunați 100 cu -64.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{36}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 36.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±6}{2}$$

Opusul lui -10 este 10.

$$y=\frac{10±6}{2}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{10±6}{2} atunci când ± este plus. Adunați 10 cu 6.

$$y=\frac{16}{2}$$

Împărțiți 16 la 2.

$$y=8$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{10±6}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 6 din 10.

$$y=\frac{4}{2}$$

Împărțiți 4 la 2.

$$y=2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=8 y=2$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-10y+16=0$$

Scădeți 16 din ambele părți ale ecuației.

$$y^{2}-10y+16-16=-16$$

Scăderea 16 din el însuși are ca rezultat 0.

$$y^{2}-10y=-16$$

Împărțiți -10, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -5. Apoi, adunați pătratul lui -5 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}-10y+\left(-5\right)^{2}=-16+\left(-5\right)^{2}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$y^{2}-10y+25=-16+25$$

Adunați -16 cu 25.

$$y^{2}-10y+25=9$$

Factorul y^{2}-10y+25. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-5\right)^{2}=9$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y-5\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Simplificați.

$$y-5=3 y-5=-3$$

Adunați 5 la ambele părți ale ecuației.

$$y=8 y=2$$