Rezolvați y^2+9y=-8

$$y ^ { 2 } + 9 y = - 8$$

Rezolvați pentru y

$$y=-8$$

$$y=-1$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Adăugați 8 la ambele părți.

$$y^{2}+9y+8=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul y^{2}+9y+8 utilizând formula y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=9 ab=8$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 8.

$$1,8 2,4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+8=9 2+4=6$$

Soluția este perechea care dă suma de 9.

$$a=1 b=8$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(y+a\right)\left(y+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(y+1\right)\left(y+8\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați y+1=0 și y+8=0.

$$y=-1 y=-8$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Adăugați 8 la ambele părți.

$$y^{2}+9y+8=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca y^{2}+ay+by+8. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=9 ab=1\times 8=8$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 8.

$$1,8 2,4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+8=9 2+4=6$$

Soluția este perechea care dă suma de 9.

$$a=1 b=8$$

Rescrieți y^{2}+9y+8 ca \left(y^{2}+y\right)+\left(8y+8\right).

$$\left(y^{2}+y\right)+\left(8y+8\right)$$

Factor y în primul și 8 în al doilea grup.

$$y\left(y+1\right)+8\left(y+1\right)$$

Scoateți termenul comun y+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(y+1\right)\left(y+8\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați y+1=0 și y+8=0.

$$y=-1 y=-8$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$y^{2}+9y=-8$$

Adunați 8 la ambele părți ale ecuației.

$$y^{2}+9y-\left(-8\right)=-8-\left(-8\right)$$

Scăderea -8 din el însuși are ca rezultat 0.

$$y^{2}+9y-\left(-8\right)=0$$

Scădeți -8 din 0.

$$y^{2}+9y+8=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 9 și c cu 8 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 8}}{2}$$

Ridicați 9 la pătrat.

$$y=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 8}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 8.

$$y=\frac{-9±\sqrt{81-32}}{2}$$

Adunați 81 cu -32.

$$y=\frac{-9±\sqrt{49}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$y=\frac{-9±7}{2}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-9±7}{2} atunci când ± este plus. Adunați -9 cu 7.

$$y=-\frac{2}{2}$$

Împărțiți -2 la 2.

$$y=-1$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-9±7}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din -9.

$$y=-\frac{16}{2}$$

Împărțiți -16 la 2.

$$y=-8$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=-1 y=-8$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$y^{2}+9y=-8$$

Împărțiți 9, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{9}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{9}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}+9y+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=-8+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{9}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}+9y+\frac{81}{4}=-8+\frac{81}{4}$$

Adunați -8 cu \frac{81}{4}.

$$y^{2}+9y+\frac{81}{4}=\frac{49}{4}$$

Factor y^{2}+9y+\frac{81}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y+\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Simplificați.

$$y+\frac{9}{2}=\frac{7}{2} y+\frac{9}{2}=-\frac{7}{2}$$

Scădeți \frac{9}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$y=-1 y=-8$$