Rezolvați y=x-9;quady=5-x

$$y = x - 9 ; \quad y = 5 - x$$

Rezolvați pentru y, x

$$x=7$$

$$y=-2$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți x din ambele părți.

$$y-x=-9$$

Luați în considerare a doua ecuație. Adăugați x la ambele părți.

$$y+x=5$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$y-x=-9,y+x=5$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru y, prin izolarea lui y pe partea din stânga semnului egal.

$$y-x=-9$$

Adunați x la ambele părți ale ecuației.

$$y=x-9$$

Înlocuiți y cu x-9 în cealaltă ecuație, y+x=5.

$$x-9+x=5$$

Adunați x cu x.

$$2x-9=5$$

Adunați 9 la ambele părți ale ecuației.

$$2x=14$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x=7$$

Înlocuiți x cu 7 în y=x-9. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$y=7-9$$

Adunați -9 cu 7.

$$y=-2$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$y=-2,x=7$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți x din ambele părți.

$$y-x=-9$$

Luați în considerare a doua ecuație. Adăugați x la ambele părți.

$$y+x=5$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$y-x=-9,y+x=5$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{1}{2}\times 5\\-\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele y și x ale matricei.

$$y=-2,x=7$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți x din ambele părți.

$$y-x=-9$$

Luați în considerare a doua ecuație. Adăugați x la ambele părți.

$$y+x=5$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$y-x=-9,y+x=5$$

Scădeți pe y+x=5 din y-x=-9 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$y-y-x-x=-9-5$$

Adunați y cu -y. Termenii y și -y se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-x-x=-9-5$$

Adunați -x cu -x.

$$-2x=-9-5$$

Adunați -9 cu -5.

$$-2x=-14$$

Se împart ambele părți la -2.

$$x=7$$

Înlocuiți x cu 7 în y+x=5. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$y+7=5$$

Scădeți 7 din ambele părți ale ecuației.

$$y=-2$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$y=-2,x=7$$