Rezolvați y=2x-1text{and}2x+y=3

$$y = 2 x - 1 \text { and } 2 x + y = 3$$

Rezolvați pentru y, x

$$x=1$$

$$y=1$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți 2x din ambele părți.

$$y-2x=-1$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru y, prin izolarea lui y pe partea din stânga semnului egal.

$$y-2x=-1$$

Adunați 2x la ambele părți ale ecuației.

$$y=2x-1$$

Înlocuiți y cu 2x-1 în cealaltă ecuație, y+2x=3.

$$2x-1+2x=3$$

Adunați 2x cu 2x.

$$4x-1=3$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$4x=4$$

Se împart ambele părți la 4.

$$x=1$$

Înlocuiți x cu 1 în y=2x-1. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$y=2-1$$

Adunați -1 cu 2.

$$y=1$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$y=1,x=1$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți 2x din ambele părți.

$$y-2x=-1$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele y și x ale matricei.

$$y=1,x=1$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți 2x din ambele părți.

$$y-2x=-1$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Scădeți pe y+2x=3 din y-2x=-1 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$y-y-2x-2x=-1-3$$

Adunați y cu -y. Termenii y și -y se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-2x-2x=-1-3$$

Adunați -2x cu -2x.

$$-4x=-1-3$$

Adunați -1 cu -3.

$$-4x=-4$$

Se împart ambele părți la -4.

$$x=1$$

Înlocuiți x cu 1 în y+2x=3. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$y+2=3$$

Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației.

$$y=1$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$y=1,x=1$$