Rezolvați y=2xtext{and}2y=-x

$$y = 2 x \text { and } 2 y = - x$$

Rezolvați pentru y, x

$$x=0$$

$$y=0$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți 2x din ambele părți.

$$y-2x=0$$

Luați în considerare a doua ecuație. Adăugați x la ambele părți.

$$2y+x=0$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$y-2x=0,2y+x=0$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru y, prin izolarea lui y pe partea din stânga semnului egal.

$$y-2x=0$$

Adunați 2x la ambele părți ale ecuației.

$$y=2x$$

Înlocuiți y cu 2x în cealaltă ecuație, 2y+x=0.

$$2\times 2x+x=0$$

Înmulțiți 2 cu 2x.

$$4x+x=0$$

Adunați 4x cu x.

$$5x=0$$

Se împart ambele părți la 5.

$$x=0$$

Înlocuiți x cu 0 în y=2x. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$y=0$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$y=0,x=0$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți 2x din ambele părți.

$$y-2x=0$$

Luați în considerare a doua ecuație. Adăugați x la ambele părți.

$$2y+x=0$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$y-2x=0,2y+x=0$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele y și x ale matricei.

$$y=0,x=0$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți 2x din ambele părți.

$$y-2x=0$$

Luați în considerare a doua ecuație. Adăugați x la ambele părți.

$$2y+x=0$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$y-2x=0,2y+x=0$$

Pentru a egala y și 2y, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 2 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 1.

$$2y+2\left(-2\right)x=0,2y+x=0$$

Simplificați.

$$2y-4x=0,2y+x=0$$

Scădeți pe 2y+x=0 din 2y-4x=0 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$2y-2y-4x-x=0$$

Adunați 2y cu -2y. Termenii 2y și -2y se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-4x-x=0$$

Adunați -4x cu -x.

$$-5x=0$$

Se împart ambele părți la -5.

$$x=0$$

Înlocuiți x cu 0 în 2y+x=0. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$2y=0$$

Se împart ambele părți la 2.

$$y=0$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$y=0,x=0$$