Rezolvați y=2x+1text{and}x+y=7

$$y = 2 x + 1 \text { and } x + y = 7$$

Rezolvați pentru y, x

$$x=2$$

$$y=5$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți 2x din ambele părți.

$$y-2x=1$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru y, prin izolarea lui y pe partea din stânga semnului egal.

$$y-2x=1$$

Adunați 2x la ambele părți ale ecuației.

$$y=2x+1$$

Înlocuiți y cu 2x+1 în cealaltă ecuație, y+x=7.

$$2x+1+x=7$$

Adunați 2x cu x.

$$3x+1=7$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$3x=6$$

Se împart ambele părți la 3.

$$x=2$$

Înlocuiți x cu 2 în y=2x+1. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$y=2\times 2+1$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$y=4+1$$

Adunați 1 cu 4.

$$y=5$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$y=5,x=2$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți 2x din ambele părți.

$$y-2x=1$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 7\\-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele y și x ale matricei.

$$y=5,x=2$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți 2x din ambele părți.

$$y-2x=1$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Scădeți pe y+x=7 din y-2x=1 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$y-y-2x-x=1-7$$

Adunați y cu -y. Termenii y și -y se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-2x-x=1-7$$

Adunați -2x cu -x.

$$-3x=1-7$$

Adunați 1 cu -7.

$$-3x=-6$$

Se împart ambele părți la -3.

$$x=2$$

Înlocuiți x cu 2 în y+x=7. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$y+2=7$$

Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației.

$$y=5$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$y=5,x=2$$