Rezolvați y=-4x+5text{and}y=2x-3

$$y = - 4 x + 5 \text { and } y = 2 x - 3$$

Rezolvați pentru y, x

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Adăugați 4x la ambele părți.

$$y+4x=5$$

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți 2x din ambele părți.

$$y-2x=-3$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$y+4x=5,y-2x=-3$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru y, prin izolarea lui y pe partea din stânga semnului egal.

$$y+4x=5$$

Scădeți 4x din ambele părți ale ecuației.

$$y=-4x+5$$

Înlocuiți y cu -4x+5 în cealaltă ecuație, y-2x=-3.

$$-4x+5-2x=-3$$

Adunați -4x cu -2x.

$$-6x+5=-3$$

Scădeți 5 din ambele părți ale ecuației.

$$-6x=-8$$

Se împart ambele părți la -6.

$$x=\frac{4}{3}$$

Înlocuiți x cu \frac{4}{3} în y=-4x+5. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$y=-4\times \frac{4}{3}+5$$

Înmulțiți -4 cu \frac{4}{3}.

$$y=-\frac{16}{3}+5$$

Adunați 5 cu -\frac{16}{3}.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$y=-\frac{1}{3},x=\frac{4}{3}$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Adăugați 4x la ambele părți.

$$y+4x=5$$

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți 2x din ambele părți.

$$y-2x=-3$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$y+4x=5,y-2x=-3$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&4\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-4}&-\frac{4}{-2-4}\\-\frac{1}{-2-4}&\frac{1}{-2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5+\frac{2}{3}\left(-3\right)\\\frac{1}{6}\times 5-\frac{1}{6}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele y și x ale matricei.

$$y=-\frac{1}{3},x=\frac{4}{3}$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Adăugați 4x la ambele părți.

$$y+4x=5$$

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți 2x din ambele părți.

$$y-2x=-3$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$y+4x=5,y-2x=-3$$

Scădeți pe y-2x=-3 din y+4x=5 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$y-y+4x+2x=5+3$$

Adunați y cu -y. Termenii y și -y se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$4x+2x=5+3$$

Adunați 4x cu 2x.

$$6x=5+3$$

Adunați 5 cu 3.

$$6x=8$$

Se împart ambele părți la 6.

$$x=\frac{4}{3}$$

Înlocuiți x cu \frac{4}{3} în y-2x=-3. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$y-2\times \frac{4}{3}=-3$$

Înmulțiți -2 cu \frac{4}{3}.

$$y-\frac{8}{3}=-3$$

Adunați \frac{8}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$y=-\frac{1}{3},x=\frac{4}{3}$$