Rezolvați y=(y-4)(y+4)

$$y = ( y - 4 ) ( y + 4 )$$

Rezolvați pentru y

$$y = \frac{\sqrt{65} + 1}{2} \approx 4,531128874$$

$$y=\frac{1-\sqrt{65}}{2}\approx -3,531128874$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Să luăm \left(y-4\right)\left(y+4\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 4 la pătrat.

$$y=y^{2}-16$$

Scădeți y^{2} din ambele părți.

$$y-y^{2}=-16$$

Adăugați 16 la ambele părți.

$$y-y^{2}+16=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-y^{2}+y+16=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 1 și c cu 16 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\times 16}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 16}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+4\times 16}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 16.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+64}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 1 cu 64.

$$y=\frac{-1±\sqrt{65}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$y=\frac{-1±\sqrt{65}}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-1±\sqrt{65}}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu \sqrt{65}.

$$y=\frac{\sqrt{65}-1}{-2}$$

Împărțiți -1+\sqrt{65} la -2.

$$y=\frac{1-\sqrt{65}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-1±\sqrt{65}}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{65} din -1.

$$y=\frac{-\sqrt{65}-1}{-2}$$

Împărțiți -1-\sqrt{65} la -2.

$$y=\frac{\sqrt{65}+1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=\frac{1-\sqrt{65}}{2} y=\frac{\sqrt{65}+1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Să luăm \left(y-4\right)\left(y+4\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 4 la pătrat.

$$y=y^{2}-16$$

Scădeți y^{2} din ambele părți.

$$y-y^{2}=-16$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-y^{2}+y=-16$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-y^{2}+y}{-1}=-\frac{16}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$y^{2}+\frac{1}{-1}y=-\frac{16}{-1}$$

Împărțiți 1 la -1.

$$y^{2}-y=-\frac{16}{-1}$$

Împărțiți -16 la -1.

$$y^{2}-y=16$$

Împărțiți -1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=16+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=16+\frac{1}{4}$$

Adunați 16 cu \frac{1}{4}.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{65}{4}$$

Factor y^{2}-y+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{65}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{4}}$$

Simplificați.

$$y-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{65}}{2} y-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{65}}{2}$$

Adunați \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$y=\frac{\sqrt{65}+1}{2} y=\frac{1-\sqrt{65}}{2}$$